Lezione 3 · Onde, orbitali e numeri quantici

Dalle slide: luce, spettri, Bohr e de Broglie

Parte non registrata, ricostruita dalle slide 22–34. La tengo come base: l’audio che segue dà questi concetti per scontati (il prof parla di Bohr e de Broglie al passato).

La luce come onda

La luce è radiazione elettromagnetica, con lunghezza d’onda λ, frequenza ν e velocità c = 3 × 10⁸ m/s nel vuoto: λ · ν = c. Esempi sulla slide: λ = 400 nm (violetto) e λ = 700 nm (rosso). Seguono lo spettro elettromagnetico e la diffrazione (la deviazione di un’onda che incontra un ostacolo). Corpo nero, fotone E = h·ν ed effetto fotoelettrico sono già negli appunti della lezione 2.

Lo spettro di emissione dell’idrogeno

Lo spettro dell’atomo di idrogeno non è continuo: è fatto di righe spettrali ben distinte. Nel visibile sono la serie di Balmer, descritta dall’equazione sperimentale

Il modello di Bohr (1913)

L’elettrone descrive un’orbita circolare attorno al nucleo secondo la meccanica classica, con una condizione in più che tiene conto della quantizzazione dell’energia di Planck: i raggi delle orbite possibili sono quantizzati,

Il passaggio dell’elettrone da un livello a un altro comporta assorbimento di energia (se sale) o emissione (se scende): è il meccanismo dello spettro di emissione. Le serie dell’idrogeno:

Il limite del modello di Bohr: interpreta lo spettro dell’idrogeno, ma non quelli degli atomi con più elettroni.

La relazione di de Broglie

Partendo da E = mc² e E = h·ν: h·ν = mc², quindi h·ν/c = mc = p, cioè

Per un oggetto macroscopico l’onda è assolutamente trascurabile; per un elettrone no. Perciò è possibile descrivere l’elettrone come un’onda. A questo si aggiunge il principio di Heisenberg (non si può conoscere con precisione la traiettoria di una particella elementare) e la teoria di Schrödinger (1926), la meccanica ondulatoria, che descrive il comportamento dell’elettrone nell’atomo partendo dalle onde stazionarie.

Onde stazionarie e nodi

L’audio riparte dalla corda fissata agli estremi: ogni onda possibile ha un numero preciso di nodi, e più nodi significa più energia.

Nell’onda fondamentale i soli punti fermi sono i due estremi fissi della corda. Agitando di più la corda, l’energia dell’onda aumenta e compaiono dei nodi interni: uno, poi due, poi tre, e così via. Il numero dei nodi può solo crescere a scatti, per numeri interi: è la stessa idea di grandezza discreta che ritorna in tutta la lezione.

Il numero di nodi è sempre n − 1, dove n è il numero quantico: per n = 1 zero nodi (stato fondamentale), per n = 2 un nodo, per n = 3 due nodi.

Per un’onda stazionaria “macroscopica” (la corda) l’energia dipende da due cose: n, che sta al numeratore (più n, più energia), e dalla lunghezza L del sistema. Il prof non ha chiesto di ricordare tutti i termini dell’equazione.

L’elettrone come onda

L’atomo è un oggetto sferico, e l’elettrone, oltre a essere una particella, si muove molto velocemente e ha le proprietà di un’onda. Lo si può quindi pensare in modo simile alla corda: come un’onda con la sua energia e con il suo numero di nodi, e anche per l’atomo valgono le stesse regole. Sono possibili solo onde con un numero discreto di nodi, 0, 1, 2…: stato fondamentale n = 1 con zero nodi, secondo stato n = 2 con un nodo, e così via. Una quantità intermedia è proibita.

Energia dell’atomo di idrogeno

Per l’elettrone attorno al nucleo l’energia si esprime con un’equazione diversa da quella della corda:

• Stato fondamentale, n = 1, Z = 1: E₁ = − R_H.
• Secondo stato, n = 2: E₂ = − R_H/4.
• Così via per n = 3, 4… fino all’infinito, dove l’energia tende a zero (elettrone ionizzato, E = 0).

Per far salire l’elettrone dal primo al secondo livello serve la differenza tra le due energie, dal terzo la differenza tra E₃ e E₁, e così via: l’energia scambiata è quantizzata, può avere solo certi valori. È la spiegazione più completa di quello che aveva ipotizzato Bohr, che aveva assunto energie ammissibili senza sapere perché: ragionare sull’elettrone come un’onda, come aveva proposto de Broglie, le fa uscire da sole. Per questo non c’è da stupirsi se un oggetto riscaldato scambia energia a “pacchetti” e non in quantità qualsiasi.

L’equazione di Schrödinger e il principio di indeterminazione

Schrödinger, scienziato austriaco, aveva passato la vita a studiare le onde stazionarie, e sapeva usare un linguaggio matematico elegante: ha scritto un’equazione che descrive tutto questo. Il problema è che l’onda della corda ha una dimensione (basta la coordinata x), mentre l’elettrone nell’atomo è un oggetto tridimensionale: servono x, y, z. Da qui nasce una nuova fisica, la meccanica ondulatoria (o quantistica).

Schrödinger scrive l’equazione con una funzione d’onda ψ (psi) che rappresenta lo stato dell’elettrone: da una parte alcune operazioni matematiche applicate a ψ, in cui compaiono due termini, energia cinetica ed energia potenziale; dall’altra l’energia dell’onda moltiplicata per la stessa ψ. Si cerca quali onde, cioè quali orbitali, sono ammissibili per l’elettrone. L’equazione è stata risolta in modo esatto solo per l’atomo di idrogeno, un protone e un elettrone, che è un sistema semplice.

Quando l’elettrone assorbe energia succede quello che si vedeva con la corda agitata di più: l’onda cambia. Anche l’elettrone cambia il suo orbitale, la sua forma e la sua energia.

I numeri quantici

La soluzione è molto complessa, ma ha caratteristiche precise: tre numeri quantici, perché l’onda è tridimensionale. Sono numeri interi e non sono indipendenti: uno dipende dall’altro, quindi, dato il primo, a cascata si ricavano gli altri.

Esempi, ragionando a cascata:

Il numero di orbitali di un livello è n². Lo stato fondamentale è definito da (n, l, m_l) = (1, 0, 0): esiste una sola funzione, ψ₁₀₀. Il numero di valori di m_l per un dato l è 2l + 1, e dice quanti orbitali di quel tipo esistono.

Gli orbitali, dalla lettera ai numeri

Si indicano solo i primi due numeri quantici (da cui dipende l’energia) e l si scrive con una lettera:

(poi viene il 9, e così via per i tipi successivi). Quindi: 1s è n = 1, l = 0; 2s è n = 2, l = 0; i tre 2p sono n = 2, l = 1; i cinque 3d sono n = 3, l = 2.

• Gli orbitali dello stesso tipo e livello, come i tre p (p_x, p_y, p_z), hanno la stessa energia: si dicono degeneri.
• In ogni livello l ≤ n − 1: non esiste 2d, esiste invece 4f (n = 4, l = 3), con 7 orbitali.
• La lettera dice la forma: s sferico (cambia solo dimensione, energia e numero di nodi, ma la forma resta sferica), p a due lobi (un “manubrio” con un piano nodale al centro), d a “quadrifoglio”, f più complicata.

Che cosa significa la funzione d’onda

La funzione d’onda ψ è un’ampiezza, può essere positiva o negativa, e in sé non ha nessun significato fisico nel microcosmo. Quello che ha significato è il suo quadrato.

L’immagine del prof è il melo: l’albero è il nucleo, le mele cadute sono le posizioni dell’elettrone. La mela può finire in qualsiasi punto attorno all’albero; a un chilometro è molto improbabile, ma mai impossibile. Così l’elettrone: la probabilità di trovarlo lontano dal nucleo è piccola, ma non è mai nulla, nemmeno a distanza infinita.

Per rappresentare un orbitale si fanno due cose:

1. Il grafico di ψ² in funzione della distanza dal nucleo (0 = il nucleo).
2. Dato che l’elettrone è in un oggetto tridimensionale, si moltiplica per un coefficiente geometrico e si ottiene la distribuzione radiale di probabilità: ha un picco, che è la distanza più probabile dal nucleo.

Per il 1s dell’idrogeno il picco è a 0,53 Å, lo stesso valore che Bohr aveva ricavato postulando gli stati energetici. È l’unione di due teorie, una approssimativa e una rigorosa, e per Schrödinger vale il Nobel.

Per convenzione, la superficie con cui si disegna un orbitale è quella che racchiude il 95% della probabilità di trovare l’elettrone; il resto non interessa. Nei disegni i lobi sono colorati in giallo e blu: indicano il segno della funzione d’onda (positiva o negativa), non una carica.

I nodi degli orbitali

Un nodo in un orbitale è un punto, un piano o una superficie in cui la probabilità di trovare l’elettrone è zero, come una zona proibita attorno al melo dove non cadrà mai una mela. Quanti nodi ha un orbitale è lo stesso discorso della corda: più nodi, più energia.

• 1s: nessun nodo, un solo picco.
• 2s: un nodo, una sfera dove la probabilità è zero. Al centro la probabilità è alta, poi nulla, poi di nuovo qualcosa più fuori.
• 3s: due nodi.
• 2p: un nodo, che è un piano (il piano nodale).

2s e 2p hanno lo stesso numero totale di nodi, perché hanno la stessa energia; cambia la natura del nodo, sferico in un caso e piano nell’altro. Gli orbitali s non hanno mai nodi angolari: i loro nodi sono tutti sferici.

Quando l’elettrone assorbe l’energia giusta e sale da 1s a 2s o 3s, la sua forma cambia: compaiono nodi. Se poi torna allo stato fondamentale, riprende la forma di prima e rilascia l’energia in eccesso. Come fa a esistere una zona dove non si trova mai, e comunque a “passare” da una parte all’altra? Perché nel microcosmo le cose non sono continue ma quantizzate, e funzionano con regole che nel macrocosmo non esistono.

Lo spin

Le misure sperimentali hanno mostrato che l’elettrone ha un’altra proprietà. Se un fascio passa tra i poli di una calamita, si divide in due: una metà viene attratta verso un polo, l’altra verso l’altro. L’elettrone risponde al campo magnetico come se ruotasse su se stesso, in senso orario o antiorario.

Quindi per descrivere un elettrone in un atomo servono quattro numeri quantici: n, l, m_l, m_s.